一、引言

随着计算机技术、实验研究技术的迅速发展,电磁场学科在教研、工程上的应用也在逐步加深。而经典电磁学理论作为电磁技术发展的理论基础,其核心麦克斯韦方程组的重要性不言而喻。因此在工程上求解电磁场的基本任务,便是根据电磁场域的特性建立数学模型,利用麦克斯韦方程列出方程,利用边界条件,求解出磁场的分布。

电位的计算则是静电场计算的基本问题。只要计算出电位,包括电场强度在内的电磁场物理量都可以由其求得。在以往的区域电位求解中,主要有解析法和数值法两大类。解析法所求得的结果较为精准,但是在实际的工程问题中往往因为条件过于复杂而无法求得。故在此情况下,用数值法求解电磁场电位便是良方。近年来,随着计算机技术的发展和各种算法技术的进步,数值方法有了很大的飞跃,主要内容包括:有限差分法、有限元法、蒙特卡洛法等。本文将使超松弛迭代法,通过MATLAB研究区域磁场的电位问题。

二、关于超松弛迭代法

超松弛迭代法是在有限差分法的基础上为提高收敛速度,采用加权平均而得到的新算法。因此我们需要先了解运用有限差分法求解区域磁场的基本原理。所谓有限差分法(finitedifferencemethod),是一种求偏微分(或常微分)方程和方程组定解问题的数值解的方法,它以差分原理为基础,具有简单、直观的特点,是最早广泛应用于电磁场数值分析领域的方法。用此方法时,采用离散化思想,计算的步骤通常如下:

采用一定的网格划分格式,把实际连续的的磁场离散为有限的多个点。

使用差分原理,对磁场域内偏微分方程以及磁场域边界条件进行差分离散化处理,即用差商替代偏导数,写出相应的差分格式。

结合代数方程组的求解,可通过计算机程序,求出由以上的步骤得到的代求边界问题的差分方程的解,即可求出网格节点的位函数值,进一步求得电位分布。

下面以二维泊松方程的第一类边值问题为例介绍用有限元差分法求解区域电位的基本原理。

二维静电场的边值条件满足:

将如图1的场域分成足够小的正方形网络,网络之间的距离为步长h,节点A,B,C,D,E上的电位分别用0,1,2,3和4表示。

设函数在x0处可微,则沿x方向在x0处的泰勒公式展开为:

将分别代入式(2)中,得到:

由(3)+(4)得:

同理,在y方向上有:

将式(5)、(6)代入式(1)的边界条件中,得到泊松方程的五点差分格式:

在无源场中,有,得到拉普拉斯方程的五点差分格式为:

式(8)表明,任意点的电位等于它周围四个点电位的平均值。当求解区域很大时,划分的网格点很多,那么求解的方程组中,未知数也将很多。此时采用迭代法较为简便。下面将就常用的几种迭代法作简要分析。

1.简单迭代法

在图1中,将包含界别在内的节点均以下标(i,j)表示,用上标n表示某点电位的第n次迭代值。由式(8)得出点(i,j)的第n+1次电位的计算公式为:

在以式(9)进行迭代计算时,迭代顺序可按先行后列,或先列后行进行,逐级求出近似值。迭代过程如遇到边界节点时,代入边界值或边界差分格式,直到连续两次迭代求得的电位差值在允许误差范围内,结束迭代。

2.高斯-赛德迭代法

为了节约计算时间,对简单迭代法进行适当改进,即每计算出一个节点的高一次近似值,就立即用它参与其他节点的差分方程的计算,它的表达式可以写为:

由于高一级迭代值的提前使用,高斯-赛德迭代法比简单迭代法快一倍左右,数据容量也小。

3.超松弛迭代法

为了进一步加快收敛速度,采用超松弛迭代法。这里引入收敛因子,将某节点的新旧电位值之差乘以收敛因子,在加到该节点的旧电位值上,以之作为该节点的新电位值。表达式如下所示:

研究可知,迭代收敛的速